以下是一个用蒙特卡罗方法计算圆周率的Python程序，可以输出逐步提高精度的过程：

import random
import time

def calc_pi_mc(num_points):
    circle_points = 0
    total_points = 0
    for i in range(num_points):
        x = random.uniform(-1, 1)
        y = random.uniform(-1, 1)
        distance = x ** 2 + y ** 2
        if distance <= 1:
            circle_points += 1
        total_points += 1
        pi_estimate = 4 * circle_points / total_points
        print("%.10f" % pi_estimate)
        time.sleep(0.1)

# 通过调用函数计算圆周率，并展示逐步提高精度的过程
calc_pi_mc(10000)

在这个程序中，我们使用蒙特卡罗方法来估算圆周率。我们随机生成一些点，并计算它们距离原点的距离。如果距离小于等于1，则将点计入圆内，否则计入圆外。我们不断生成新的随机点，直到达到指定数量。最后，我们将圆内点的数量除以总点数，并乘以4得到π的估计值。

在程序中，我们打印每个估计值，并在每次打印后等待0.1秒，以便我们可以看到逐步提高精度的过程。

请注意，由于蒙特卡罗方法的随机性质，每次运行的结果可能会有所不同。因此，在进行比较时，应该进行多次运行，并计算平均值。